Title: Mathématiques-PTSI / Nombres complexes

Q: [latex] Forme algébrique d'un nombre complexe[/latex]
A: [latex] $ \pRe(z)+i\pIm(z)$ [/latex]

Q: [latex]Définition d'un nombre complexe réel [/latex]
A: [latex]Un complexe est dit réel si, et seulement si, sa partie imaginaire est nulle. [/latex]

Q: [latex] Définition d'un nombre complexe imaginaire pur.[/latex]
A: [latex]Un complexe non nul dont la partie réelle est nulle.[/latex]

Q: [latex] Point image d'un nombre complexe $z$ [/latex]
A: [latex] Le point du plan de coordonnées $(\pRe(z),\pIm(z)) $ [/latex]

Q: [latex] Affixe d'un point $M(x,y)$.[/latex]
A: [latex] Le complexe $x+iy$.[/latex]

Q: [latex] Vecteur image d'un nombre complexe $z$ [/latex]
A: [latex] Le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} \pRe(z)\\ \pIm(z)\end{pmatrix}$ [/latex]

Q: [latex] Affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ [/latex]
A: [latex] Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$, alors l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est
$z_B-z_A$ [/latex]

Q: [latex] Conjugué de $z$ [/latex]
A: [latex] $ \overline{z}=\pRe(z)-i\pIm(z) $ [/latex]

Q: [latex] Module d'un complexe $z$ [/latex]
A: [latex] Le réel positif $\abs{z}=\sqrt{\pRe(z)^2+\pIm(z)^2} $ [/latex]

Q: [latex] Lien parties réelle, imaginaire et conjugué. [/latex]
A: [latex] $ \pRe(z)=\dfrac{z+\overline{z} }{2}\quad \pIm(z)=\dfrac{z-\overline{z} }{2i} $ [/latex]

Q: [latex] Conjugué d'une somme de complexes ? [/latex]
A: [latex] $ \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'} $ [/latex]

Q: [latex] Conjugué d'un produit de deux complexes ? [/latex]
A: [latex] $ \overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'} $ [/latex]

Q: [latex] Conjugué du conjugué d'un complexe [/latex]
A: [latex] $ \overline{\overline{z} }=z $ [/latex]

Q: [latex] Lien conjugué et module ? [/latex]
A: [latex] $ z\overline{z}=\abs{z}^2$ [/latex]

Q: [latex] Module du conjugué ?[/latex]
A: [latex] $ \abs{\overline{z} }=\abs{z} $ [/latex]

Q: [latex] Module du produit de deux nombres complexes ? [/latex]
A: [latex] $ \abs{zz'}=\abs{z}\abs{z'} $ [/latex]

Q: [latex] Module d'une somme de deux complexes ? [/latex]
A: [latex] C'est l'inégalité triangulaire :
\[\abs{\abs{z}-\abs{z'}}\leq \abs{z\pm z'}\leq \abs{z}+\abs{z'}\]
Attention : $\abs{z+ z'}\neq \abs{z}+\abs{z'}$ en général.[/latex]

Q: [latex] Comparaison entre $\abs{\pRe(z)}$,  $\abs{\pIm(z)}$ et $\abs{z}$ [/latex]
A: [latex] $ \abs{\pRe(z)}\leq \abs{z} \quad \abs{\pIm(z)}\leq \abs{z} $ [/latex]

Q: [latex]Résolution des équations du second degré [/latex]
A: [latex]Soient $a\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$ , $(b,c)\in \mathbb{C}^2$. Les solutions de l'équation $az^2+bz+c=0$, d'inconnue $z\in \mathbb{C}$ sont $\dfrac{-b\pm \delta }{2a}$, où $\delta$ est l'une quelconque des deux racines carrées du discriminant $\Delta= b^2-4ac$. [/latex]

Q: [latex]Lien coefficient racines pour une équation du second degré[/latex]
A: [latex]Soient $a\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$ , $(b,c)\in \mathbb{C}^2$. La somme des solutions de l'équation $az^2+bz+c=0$ vaut $-\dfrac{b}{a}$ et leur produit $\dfrac{c}{a}$.[/latex]